Matte C - Newtons avsvalningslag

[Achryl]

har prov imorgon, behöver hjälp med att fatta det här:

En kropp med temperaturen T svalnar i en omgivning med lägre temperatur T0. Om omgivningens temperatur är konstant sker avsvalningen på ett sådant sätt att temperaturdifferensen D=T-T0 avtar expotentiellt med tiden t.

En kille dör, mordet upptäcks 15.00 och då är kroppens temperatur 29.5 C.
Kl 16.50 hade temperaturen sjunkit till 27.0 C.
Temperaturen på kontoret är konstant 20.0 C.
normal kroppstem är 37.







svaret: ca 11.30

[Fatalist]

Haha den jäveln har ju jag löst!! Synd att blocket ligger i skolan.. men den är ju rätt lätt, är det inte en vanlig exponentialfunktion man ska använda?

Nya = Gamla*Förändringsfaktorn^tiden

Där förändringsfaktorn i detta fall bör vara "avsvalningskonstant"

Du får alltså lösa ut tiden.

[iNCREDiBLE]

Newtons avsvalningslag säger att en kropp med temperaturen T, som placeras i en omgivning
som håller temperaturen T0, kommer att svalna på så vis att temperaturen minskar
med en hastighet som är proportionell mot temperaturdifferensen T - T0.

Lösning:
Låt t vara antalet timmar efter kl. 15.00 och låt T(t) vara killens temperatur efter t timmar. Enligt Newton lag gäller att dT/dt = k(T-T0), där k är proportionalitetskonstant och T0 = 20º C. Differentialekvationen dT/dt = k(T-20) är en separabel ekvation. Vi vill lösa ekvationen med begynnelsevillkoren T(0) = 29.5º C och T(11/6) = 27º C.

dT/dt = k(T-5) <=> § dT/(T-20) = §kdt <=> ln(T-20) = kt + C <=>
T-20 = Ae^(kt) <=> T(t) = Ae^(kt) + 20.

Ur det första begynnelsevillkoret får vi 29.5 = Ae^(k*0) + 20 = A + 20 <=> A = 9.5.
Det andra villkoret ger 27 = 9.5e^(11k/6) + 20 <=> k = -0.1665.. (approx).
Alltså T(t) = 9.5e^(-0.1665t) + 20. Vi söker nu t sådant att T(t) = 37, dvs 37 = 9.5e^(-0.1665t) + 20 <=> t = ln(17/9.5)/-0.1665 = -3.495.. (approx).

Slutsats:
Killen blev skjuten 3.495 timmar före kl 15.00, dvs klockan var 11.30.

[trym]

Newtons avsvalningslag säger att en kropp med temperaturen T, som placeras i en omgivning
som håller temperaturen T0, kommer att svalna på så vis att temperaturen minskar
med en hastighet som är proportionell mot temperaturdifferensen T - T0.

Lösning:
Låt t vara antalet timmar efter kl. 15.00 och låt T(t) vara killens temperatur efter t timmar. Enligt Newton lag gäller att dT/dt = k(T-T0), där k är proportionalitetskonstant och T0 = 20º C. Differentialekvationen dT/dt = k(T-20) är en separabel ekvation. Vi vill lösa ekvationen med begynnelsevillkoren T(0) = 29.5º C och T(11/6) = 27º C.

dT/dt = k(T-5) <=> § dT/(T-20) = §kdt <=> ln(T-20) = kt + C <=>
T-20 = Ae^(kt) <=> T(t) = Ae^(kt) + 20.

Ur det första begynnelsevillkoret får vi 29.5 = Ae^(k*0) + 20 = A + 20 <=> A = 9.5.
Det andra villkoret ger 27 = 9.5e^(11k/6) + 20 <=> k = -0.1665.. (approx).
Alltså T(t) = 9.5e^(-0.1665t) + 20. Vi söker nu t sådant att T(t) = 37, dvs 37 = 9.5e^(-0.1665t) + 20 <=> t = ln(17/9.5)/-0.1665 = -3.495.. (approx).

Slutsats:
Killen blev skjuten 3.495 timmar före kl 15.00, dvs klockan var 11.30.


de är sånnt här som gör mig riktigt lycklig för att jag inte läser matte c...!

[Jan]

Otroligt, var precis den uppgiften jag kom till, innan senaste lektionen slutade :D

[BigForre]

Mmm...diffekvationer...

[The_RobRoy]

Själv har man Fourieranalys tenta imorgonbitti, känns inte jättebra, jävligt kluriga uppgifter helatiden :furious:

[Rataxes]

Kanske minns fel, men inte är det väl meningen att man ska behöva använda sig av diffekvationer för att lösa en Matte-C-uppgift? Om det blir enklare eller ej vet jag inte, men det går att lösa med logaritmlagar också, vilket borde vara mer i linje med kunskapskraven för Matte C.

Givet var att temperaturskillnaden D mellan kroppen och omgivningen beskrevs av en exponentialfunktion, alltså en ekvation A*e^at där t är tiden och a en okänd konstant. Vid t = 0 var temperaturskillnaden 37 - 20 = 17, vilket ger A*e^a*0 = A = 17 => A = 17 => D = 17e^at

Utöver det har vi också värdet D = 9.5 vid t = x, samt D = 7 vid t = x + 11/6, vilket ger ekvationerna

17e^ax = 9.5
17e^a(x + 11/6) = 7

Omskrivet:

e^ax = 9.5/17
e^a(x + 11/6) = 7/17

Här kan vi använda en logaritmlag för att skriva om 9.5/17 och 7/17

9.5/17 = e^ln(9.5/17)
7/17 = e^ln(7/17)

Vilket ger

e^ax = e^ln(9.5/17)
e^a(x + 11/6) = e^ln(7/17)

Enligt en potenslag ger detta

ax = ln(9.5/17)
a(x + 11/6) = ln(7/17) = ax + 11a/6

Subtrahera det övre uttrycket från det undre

ax + 11a/6 - ax = ln(7/17) - ln(9.5/17) => 11a/6 = -0.3054 => a = -0.1666

Tillbaka till uttrycket ax = ln(9.5/17), a = -0.1666 => x = 3.49

[acke_t]

mmm rataxes lösning är nog mer vad de tänkt sig, men om du på provet visar en diff. lösning tror jag dom inte klagar direkt.