Citat:
Ursprungligen postat av Scratch89
Bra initiativ egge!
Jag förstår inte riktigt gränsvärden. Ett godtyckligt gränsvärde, säg limx->-3 (x^2+x-6)/(x^2-9) blir 0/0 vid insättning av x=-3. Om man nu hittar en faktor (x+3) i täljare och nämnare kan man nu förkorta och helt plötsligt finns det ett gränsvärde (5/6 i detta exempel).
Varför är det så? Det känns rätt så abstrakt.
|
limx->-3 (x^2+x-6)/(x^2-9)
är som du säger ett gränsvärde av typen "0/0" vilket innebär något "jättelitet dividerat med något jättelitet". Man kan inte se vad det blir och problemet är att nämnaren innehåller en faktor (x+3) som blir noll då x=-3.
Genom att förkorta täljare och nämnare med (x+3) erhåller du ett uttryck utan detta problem och du ser enkelt att gränsvärdet blir 5/6.
Här säger du att "plötsligt finns det ett gränsvärde", och om du menar det ordagrant är det här du begår ditt tankefel. Gränsvärdet existerar även för den ursprungliga funktionen och är lika med 5/6. Funktionen är inte definierad i punkten x=-3 (pga division med 0) men om du går godtyckligt nära x=-3 på talaxeln (från valfritt håll i detta fall) så kommer du hamna nära 5/6. Faktum är då att du kan komma godtyckligt nära (hur nära du vill) genom att gå tillräckligt nära x=-3.
I vissa fall blir ju inte gränsvärdet samma om man går från höger (från högre x till lägre) som från vänster. Tex lim x->0+ 1/x = oändligheten medan lim x->0- 1/x = -oändligheten. Eftersom du dividerar med ett litet positivt respektive negativt tal.