Ett enkelt matematiskt problem 2.0

[wintersnowdrift]

Ursprungligen postat av rbn

Initialt har alla tre utfallen en möjlighet att vara sanna eftersom alla tre alternativ innehåller en flicka, dvs 33%, och PP är uteslutet.

Frågan vi ska besvara blir dock vad sannolikheten för två olika barn är, om en är flicka. Alla tre av utfallen har en flicka, men två av dem resulterar i olika kön, ett ger lika kön. Sannolikheten att personen har två olika barn är därmed 2/3 ~66,66% chans, medan två flickor har 1/3 ~33.33%.

Här beskrivs samma problem förutom att personen har en pojke istället: https://math.stackexchange.com/quest...d-girl-paradox

Kanske mer pedagogiskt förklarat.

Sannolikheten för en enskild händelse (i det här fallet händelsen "vara en flicka") är alltid högre än sannolikheten för att två oberoende händelser sammanfaller (i detta fallet händelserna "vara en flicka" och "heta Emma").

P(flicka) > P(flicka & Emma)

Dvs, sannolikheten är alltid större att en random person är en flicka än att personen är både flicka och heter Emma.

(Sen kan man såklart diskutera om "flicka" och "heta Emma" är oberoende händelser, i praktiken är det knappast så.)

Men som sagt, om man tolkar problemet som att informationen "ett barn är en flicka som heter Emma" är given, dvs icke-stokastisk, så finns bara två utfall: Emma + pojke eller Emma + flicka.

[svenbanan]

Ursprungligen postat av Zekewarg

Nej eftersom vi vet att personen har ett barn som är en flicka.

Skulle veta vad haken är (varför det inte är så enkelt som 75%)

Här är de fyra möjliga kombinationerna av två barn:
Pojke + Pojke p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Pojke + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Pojke p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4

Adderar man sannolikheterna för alla möjliga utfall måste det alltid bli 1, annars har man gjort nåt fel. Här är 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 så inga problem.

Men ifall man har den givna förutsättningen att minst ett av barnen är en flicka så säger det sig själv att kombinationen med två pojkar faller bort. Kvar får vi då de tre möjliga utfallen:
Pojke + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Pojke p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4

Men adderar vi sannolikheterna för alla möjligheter får vi p = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Detta stämmer ju inte för fem öre. Men vi vet att alla dessa tre utfall har samma inbördes sannolikhet (dvs det är lika sannolikt att vi för vilket som helst av dessa tre utfall). Så vi delar bara upp den totala sannolikheten på alla te kombinationerna. Och eftersom 1 delat med 3 (tre utfall) så får varje utfall sannolikheten p=1/3.

[Melker2]

Svenb, du krånglar till det i onödan.

Det finns inte så många varianter på utfall eftersom barn 1 är känt.
Den enda osäkerhetsfaktorn är barn 2 och där finns det bara två möjliga utfall med 50/50 (om vi skippar decimaler i födeslestatistik och tvillingar etc)

[Melker2]

Liten vinkling:

Om det är 100 barn på skolgården och du ser 99, vad är då sannolikheten för kön på det 100:e barnet?

Det blir 50/50 här också eftersom bara ett är okänt oavsett hur många kombinationer du kan hitta på.

[svenbanan]

Ursprungligen postat av Melker2

Svenb, du krånglar till det i onödan.

Det finns inte så många varianter på utfall eftersom barn 1 är känt.
Den enda osäkerhetsfaktorn är barn 2 och där finns det bara två möjliga utfall med 50/50 (om vi skippar decimaler i födeslestatistik och tvillingar etc)

Varför behöver du inte räkna med alla kombinationerna menar du? Utan den givna förutsättnignen finns fyra lika sannolika kombinationer. Med den givna förutsättningen vet vi att en av dessa fyra är orimlig. Kvar blir då tre kombinationer.

[PureWhey]

(Emma, pojke)(pojke,Emma)(Emma, flicka)(flicka, Emma)(Emma, Emma). Då har vi 2/5.

Mitt svar: 2/5.

Önskar er andra all lycka.

[rbn]

Ursprungligen postat av Melker2

Svenb, du krånglar till det i onödan.

Det finns inte så många varianter på utfall eftersom barn 1 är känt.
Den enda osäkerhetsfaktorn är barn 2 och där finns det bara två möjliga utfall med 50/50 (om vi skippar decimaler i födeslestatistik och tvillingar etc)

Du vet inte om barn 1 är känt, du vet bara att ett av barnen är en flicka. Frågeställningen förtäljer inte om hon är äldst eller yngst, det hade förändrat utfallen.

Hon kan vara äldst: FP.
Hon kan vara yngst: PF.

Eller så kan vi ha två flickor där ålder inte spelar någon roll, eftersom det bara finns en möjlighet att få två flickor, dvs FF.

Möjligheterna du kan ha fått barn är då: FP, PF, eller FF.

Notera att frågeställningen är väldigt specifik. Det efterfrågas inte vad sannolikheten är att ett okänt barn är flicka eller pojke, det hade varit 50%. Vi söker sannolikheten för att personen har två olika barn, som en helhet, med en given flicka.

[Lyset]

Ursprungligen postat av PureWhey

Till exempel:
En man gick igenom en pool med hajar, men han blev inte biten. Varför?

- Det var inga hajar i poolen.


Ja. Jättekul.

Underbar.

[Melker2]

Ursprungligen postat av svenbanan

Varför behöver du inte räkna med alla kombinationerna menar du? Utan den givna förutsättnignen finns fyra lika sannolika kombinationer. Med den givna förutsättningen vet vi att en av dessa fyra är orimlig. Kvar blir då tre kombinationer.

Jag ser bara två möjliga utfall eftersom vi bara har ett okänt barn, endera är det en pojke eller också är det en flicka. För att ha flera möjliga utfall måste vi ha flera okända barn. Vi vet ju att barn 1 är en flicka.

Hade vi haft 99 kända barn och ett okänt hade det varit samma sak med det 100:e okända barnet.

Känns som att många blandar ihop det med att ett par ska få två barn och sannolikheten för att det blir PP, FF, PF eller FP. När barn ett redan finns där så har vi redan gått ett steg ner i grafen och då är barn 2 en oberoende händelse som bara har två möjliga utfall.

[Rikard Jansson]

Vill ändra mitt svar till 50%. Antingen är det ju så, eller inte. Precis som med allt annat.

Sannolikhetslära är dessutom båg och att likställa med stjärntecken och annat larv.

[r1kkie]

Ursprungligen postat av svenbanan

Här är de fyra möjliga kombinationerna av två barn:
Pojke + Pojke p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Pojke + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Pojke p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4

Adderar man sannolikheterna för alla möjliga utfall måste det alltid bli 1, annars har man gjort nåt fel. Här är 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 så inga problem.

Men ifall man har den givna förutsättningen att minst ett av barnen är en flicka så säger det sig själv att kombinationen med två pojkar faller bort. Kvar får vi då de tre möjliga utfallen:
Pojke + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Pojke p = 1/2 * 1/2 = 1/4
Flicka + Flicka p = 1/2 * 1/2 = 1/4

Men adderar vi sannolikheterna för alla möjligheter får vi p = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Detta stämmer ju inte för fem öre. Men vi vet att alla dessa tre utfall har samma inbördes sannolikhet (dvs det är lika sannolikt att vi för vilket som helst av dessa tre utfall). Så vi delar bara upp den totala sannolikheten på alla te kombinationerna. Och eftersom 1 delat med 3 (tre utfall) så får varje utfall sannolikheten p=1/3.

Vart är det tredje könet?

[Starke75an]

50%

[svenbanan]

Ursprungligen postat av Melker2

Jag ser bara två möjliga utfall eftersom vi bara har ett okänt barn, endera är det en pojke eller också är det en flicka. För att ha flera möjliga utfall måste vi ha flera okända barn. Vi vet ju att barn 1 är en flicka.

Hade vi haft 99 kända barn och ett okänt hade det varit samma sak med det 100:e okända barnet.

Känns som att många blandar ihop det med att ett par ska få två barn och sannolikheten för att det blir PP, FF, PF eller FP. När barn ett redan finns där så har vi redan gått ett steg ner i grafen och då är barn 2 en oberoende händelse som bara har två möjliga utfall.

Jag tror det möjligen handlar om nån variant där vi tolkar frågan aningens olika. Kanske kan man tänka sig några olika svarsalternativ. Men jag ser iaf inga felaktigheter i mitt resonemang. Men å andra sidan kan jag inte heller peka på några direkta felaktigheter i ditt resonemange. Det får mig att tro att det kan finnas nån subtil skillnad i tolkningen av frågeställningen som kan leda till de olika slutsatserna.

Dock orkar jag inte försöka klura ut exakt hur detta hänger ihop, och huruvida frågeformuleringen egentligen bara kan tolkas på ett sätt. Men ofta brukar ju svårigheten av sådana här problem bero till väldigt stor del på hurpass vilseledande frågan är formulerad. Så det skulle inte alls förvåna mig om det finns flera mer eller mindre rimliga förklaringar.

Dock tänker jag dö på kullen som heter "namnet Emma är en röd strömming, och saknar relevans".

[Plasttiger]

Ursprungligen postat av svenbanan

Men det var väldigt länge sedan jag pluggade sannolikhetslära så jag kanske bortser från nåt uppenbart.

Mest att frågan kan uppfattas vara tvetydig.

Både 1/2 och 2/3 kan vara rätt.

Ursprungligen postat av rbn

Nej, först är det 50% chans att vi får en flicka eller inte, om vi sedan döper henne till Emma är oviktigt. Det enda vi ska besvara är sannolikheten för två olikkönade barn, varav en är flicka.

Emma är redan definierad som flicka, oavsett när hon föddes. Eftersom bara könet är intressant så kan barn 1 bara bli en flicka eller pojke, inte flicka, Emma eller pojke.

Utfallen vi kan ha fått är då FF, PF, FP.

Fascinerande hur alla finner olika logik i detta, för mig är det självklart. Kan inte trådskaparen själv förklara?

Båda kan vara rätt beroende på den precisa formuleringen av frågan.

Så att det är självklart det ena visar att man har fel. Men det är också så problemet är formulerat. Monty Hall har lett till dödshot från meningsmotståndare..

[nisse1976]

Ursprungligen postat av svenbanan

Jag tror det möjligen handlar om nån variant där vi tolkar frågan aningens olika. Kanske kan man tänka sig några olika svarsalternativ. Men jag ser iaf inga felaktigheter i mitt resonemang. Men å andra sidan kan jag inte heller peka på några direkta felaktigheter i ditt resonemange. Det får mig att tro att det kan finnas nån subtil skillnad i tolkningen av frågeställningen som kan leda till de olika slutsatserna.

Enligt Wikipedia:

Gardner argued that a "failure to specify the randomizing procedure" could lead readers to interpret the question in two distinct ways:

From all families with two children, at least one of whom is a boy, a family is chosen at random. This would yield the answer of
1/3
.
From all families with two children, one child is selected at random, and the sex of that child is specified to be a boy. This would yield an answer of 1/2