Matematikproblem

[Sallae]

Matematik, Kurs E
Säkerligen rätt trivialt men jag är rätt trött och skulle behöva hjälp!!!

Frågan lyder:
Bestäm Ymax, om y=7sinx+24cosx

jag har gjort såhär:
eftersom maxvärdet är då derivatan är 0;
derivera, y'=7cosx-24sinx, sätta som 0
7cosx-24sinx=0,
vad gör jag sedan???

[precis]

7cosx-24sinx=0 (1)
<=>
7cosx=24sinx
<=>
7Sqrt[1-sin^2 x] = 24sinx (trigonometriska ettan,sin^2 x + cos^2 x = 1)
=>
7^2-7^2sin^2 x = 24^2*sin^2 x (kvadrering)
<=>
sin^2 x = ...
sin x = +/- sqrt[...]
x = arcsin(+/- sqrt[...])

Eftersom vi kvadrerade (vilket kan tillföra falska rötter) måste vi kolla i (1) genom insättning vilken/vilka rot/rötter som satisferar ekvationen.

[precis]

förklaring av pilarna:
<=> betyder att det som står till vänster är ekvivalent med det till höger, och tvärtom. Det vill säga, de x som uppfyller det till vänster uppfyller det till höger, och det till höger uppfyller det till vänster.

Pilen => däremot säger att det till vänster medför det till höger, eller "det implicerar". Pilen betyder de x som uppfyller det till vänster uppfyller det till höger. Men det betyder inte att de x till höger måste uppfylla det till vänster - men det kan göra det.

t.ex. x+4 = 9 <=> x=5.

Men x^2 = 9 <=> x=5-8, är inte sant. Eftersom till vänster kan x vara lika med 3 och -3, men till höger bara -3.

(sorry om du redan visste)

[Mart|n]

Såhär ska ni göra:


http://snelhest.istheshit.net/images/fpqcbelu.jpg





Ja den är supergammal :P

[Bredband]

Matematik, Kurs E
Säkerligen rätt trivialt men jag är rätt trött och skulle behöva hjälp!!!

Frågan lyder:
Bestäm Ymax, om y=7sinx+24cosx

jag har gjort såhär:
eftersom maxvärdet är då derivatan är 0;
derivera, y'=7cosx-24sinx, sätta som 0
7cosx-24sinx=0,
vad gör jag sedan???

skriv om till:
7cosx = 24sinx

dividera med 7:
cosx = (24/7)sinx

dividera med cosx: (cosx != 0)*
cosx/cosx = (24/7) sinx/cosx

dvs:
1 = (24/7)tanx

tanx = 7/24

x = arctan(7/24)

sätts detta x in i y (jag hoppas du får använda miniräknare, men jag tror man fixar det även utan) får vi att y = 25.

*Kanske lite överkurs: att cosx inte får vara 0 är viktigt, annars har man ju dividerat med 0, och då kan mycket konstigt hända. cosx blir 0 när x = (2n+1)pi/2, där n är heltal. Alltså bör man kolla vad som händer med y om vi stoppar in något av dessa x, till exempel x = pi/2. y blir då lika med 7. Bra!

Alltså är y_max = 25.

[iNCREDiBLE]

skriv om till:
7cosx = 24sinx

dividera med 7:
cosx = (24/7)sinx

dividera med cosx: (cosx != 0)*
cosx/cosx = (24/7) sinx/cosx

dvs:
1 = (24/7)tanx

tanx = 7/24

x = arctan(7/24)

sätts detta x in i y (jag hoppas du får använda miniräknare, men jag tror man fixar det även utan) får vi att y = 25.

*Kanske lite överkurs: att cosx inte får vara 0 är viktigt, annars har man ju dividerat med 0, och då kan mycket konstigt hända. cosx blir 0 när x = (2n+1)pi/2, där n är heltal. Alltså bör man kolla vad som händer med y om vi stoppar in något av dessa x, till exempel x = pi/2. y blir då lika med 7. Bra!

Alltså är y_max = 25.


Ännu enklare om man tror på att y(x) = 7sin(x)+24cos(x) går att skriva som y(x) = sqrt(7^2+24^2)*sin(x+v) för någon konstant v. (Överkurs)

[Bredband]

Ännu enklare om man tror på att y(x) = 7sin(x)+24cos(x) går att skriva som y(x) = sqrt(7^2+24^2)*sin(x+v) för någon konstant v. (Överkurs)

I alla fall jag hänger inte med på 1) varför det är så och 2) hur man kommer fram till vad y_max blir med den appoachen. Förklara gärna!

[Sallae]

Tack, bredbands förklaring var enklast!! *yourock*

[iNCREDiBLE]

I alla fall jag hänger inte med på 1) varför det är så och 2) hur man kommer fram till vad y_max blir med den appoachen. Förklara gärna!

1). Det följer från additionsformeln för sinus.
2). Vi har att y(x) = sqrt(7^2+24^2)*sin(x+v) för någon konstant v. Framför sin(x+v) står ju konstanten sqrt(7^2+24^2). Alltså når y sitt max när sin(x+v) når sitt max och detta vet vi är 1. Alltså y_max = sqrt(7^2+24^2) = 25.

[Bredband]

1). Det följer från additionsformeln för sinus.
2). Vi har att y(x) = sqrt(7^2+24^2)*sin(x+v) för någon konstant v. Framför sin(x+v) står ju konstanten sqrt(7^2+24^2). Alltså når y sitt max när sin(x+v) når sitt max och detta vet vi är 1. Alltså y_max = sqrt(7^2+24^2) = 25.

OK, då trillade poletten ner! :)