Mattehjälp; diffekvationer

[egge]

Läser för tillfället Matematik E, gymnasienivå. Jag har problem med hur man ska tänka när det kommer till inhomogena diffekvationer.
En uppgift ur boken;

y'-2y=3 har en partikulärlösning av typen y=c. Bestäm konstanterna a, b och c och ange partikulärlösningen.

Såhär långt kommer jag:
Ansats: y=ax+b ; y'=a
Insatt i VL: a-2ax-2b
Sedan gör dom ett ekvationssystem i exemplet i boken. Där tar det stopp för mig. Hur ska jag göra?
Är inte intresserad av svaret, facit finns i boken, utan av hur man ska tänka. Hoppas tråden får vara kvar.

[MrBoris]

Läser för tillfället Matematik E, gymnasienivå. Jag har problem med hur man ska tänka när det kommer till inhomogena diffekvationer.
En uppgift ur boken;

y'-2y=3 har en partikulärlösning av typen y=c. Bestäm konstanterna a, b och c och ange partikulärlösningen.

Såhär långt kommer jag:
Ansats: y=ax+b ; y'=a
Insatt i VL: a-2ax-2b
Sedan gör dom ett ekvationssystem i exemplet i boken. Där tar det stopp för mig. Hur ska jag göra?
Är inte intresserad av svaret, facit finns i boken, utan av hur man ska tänka. Hoppas tråden får vara kvar.

Nu var det ett tag sen jag gjorde en sån här uppgift (~7år sen?), men ge mig facit så kanske jag kan komma ihåg, o därifrån förklara hur man kan tänka

[egge]

Nu var det ett tag sen jag gjorde en sån här uppgift (~7år sen?), men ge mig facit så kanske jag kan komma ihåg, o därifrån förklara hur man kan tänka

Svar: y=(-1.5)

Det där med att bestämma konstanterna hängde visst ihop med en annan uppgift.

[Alfred Nobel]

Den homogena lösningen då HL = 0 ger

Ansats: y=Ae^rx, A godtycklig konstant
Karakteristiska ekv: r-2=0 => r=2

Den homogena lösningen blir alltså:
Yh= Ae^2x

Partikuläslösning

y= ax^2 + bx + c
y'= 2ax +b
y''= 2a

Insatt i ekv: y' - 2y = 2 ger

2ax+b - 2(ax^2 + bx +c) = 3
2ax+b -2ax^2-2bx-2c = 3

<=> ekvsystemet:
2a=0
2a+2b=0
-2c=3

=> c= -3/2, a=0 och b=0

Yp=ax^2+bx+c = 0+0-3/2

=> Ya=Yh+Yp= Ae^2x-3/2


kan det stämma?

[egge]

txt

Jag är med på den homogen lösningen. Partikulärlösningen ska bli -1.5.
Ignorera denna delen i ursprungsinlägget: Bestäm konstanterna a, b och c
Det tillhörde en annan uppgift.

"y= ax^2 + bx + c"
Såhär skulle det väl endast vara om det hade varit en diffekvation av andra graden?

[Alfred Nobel]

Jag är med på den homogen lösningen. Partikulärlösningen ska bli -1.5.
Ignorera denna delen i ursprungsinlägget: Bestäm konstanterna a, b och c
Det tillhörde en annan uppgift.

"y= ax^2 + bx + c"
Såhär skulle det väl endast vara om det hade varit en diffekvation av andra graden?

Jag fick partikulärlösningen till -3/2 vilket är samma som -1.5, dvs konstanten c.

[egge]

Jag fick partikulärlösningen till -3/2 vilket är samma som -1.5, dvs konstanten c.

Vad dum jag är. Såg det nu.

Alltså från a-2ax-2b får jag ut ekvationen -2a=3 -> 3/-2=-1.5
Är det så man gör?

[egge]

Fastnar på samma ställe på nästa uppgift också. :/

y'-2y=x ; partikulärlösningen är av typen: y=ax+b

y=ax+b -> y'=a
Insatt i VL: -2ax+a-b=x

Nu ska jag då få fram ett ekvationssystem.
-2a=1 -> a=-0.5
Så långt är jag hyffsat med men svaret ska vara y=-0.5x-0.25
Hilfe.

[Alfred Nobel]

Vad dum jag är. Såg det nu.

Alltså från a-2ax-2b får jag ut ekvationen -2a=3 -> 3/-2=-1.5
Är det så man gör?

Det du gör är följande:

Efter du gjort ansatsen för partikulärlösning:
Summera alla "x-temer" för sig, "x^2-termer" och "konstant-termer" för sig. Sen tittar du efter hur många av liknanade termer som finnes i HL. I detta fall:

Summerar x-termer, vi får: 2ax+2bx
Summerar x^2-termer, vi får: 2ax^2
Summerar konstant-termer, vi får: -2c

Sen jämför vi med HL som i detta fall bara har konstant termer, dvs inga x eller x^2 inblandade. Det ger oss ekv.systemet:

2a+2b = 0
2a=0
-2c=3

Efterstom 3 är en konstant.


Anm:
Hade det stått "3x" i HL skulle ekv. systemet se annorlunda ut:

2a+2b=3
2a=0
-2c=0

=> c=0, a=0 och b=3/2

[Larsson85]

Integrerande faktorn är är exp(-2x)
Börja alltså med att multiplicera hela ekvationen med if.

exp(-2x) *y' - 2y*exp(-2x) = 3*exp(-2x)
integrera båda sidorna.
y*exp(-2x) = -3/2 * exp(-2x) + k
y = -3/2 + k*exp(2x)

[egge]

Jag tycker jag förstår det du skriver Niklas men när jag försöker det själv får jag inte till det.
Från mitt förra inlägg:
y'-2y=x ; partikulärlösningen är av typen: y=ax+b

y=ax+b -> y'=a
Insatt i VL: -2ax+a-b=x

-2a=1 -> a=-0.5
a-b=0 -> b=-0.5 ??

*sliter mitt hår*

Larsson85: Fattar faktiskt ingenting av det du skrev. Vill du får du gärna förklara lite mer ingående.

Tack till er som försöker hjälpa till. :)

[iNCREDiBLE]

Egge, du har y = ax+b och y' = a. När du sätter in det i VL ska du få (vilket du inte får, du skriver -b istället för -2b):

a - 2(ax+b) =

a - 2ax - 2b = x

utifrån detta får man att a = -1/2 och att b = -1/4 dvs y = -0.5x - 0.25.

[ceejay]

Har ej kommit så långt i Matte E ännu :)

[Larsson85]

Om man har en diffekvation på formen y' +f(x)*y = b så får man den integrerande faktorn till att bli
if = exp(int(f(x)dx))
i ditt fall var f(x) = -2
int(-2 dx) = -2x
alltså if = exp(-2x)

man multiplicerar hela diffekvationen med sin integrerande faktor som jag visade innan, och får.

exp(-2x) *y' - 2y*exp(-2x) = 3*exp(-2x)

Man inser att det som står i V.L är egentligen inget annat är en produktderivata, och om man integrerar båda sidorna så får man

y*exp(-2x) = -3/2 * exp(-2x) + k
Testa själv att derivera y*exp(-2x) så ser du att du får exp(-2x) *y' - 2y*exp(-2x)
Då ser du att vi har löst diffekvationen, och det enda som återstår är att lösa ut y.

Då undrar du hur man ska komma på ideen med den integrerande faktorn, och svaret är att det kommer man antagligen inte på själv, men har man sett det en gång så förstår man att man kan göra så.

Här kan du läsa mer ingående om det.
http://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

[egge]

Egge, du har y = ax+b och y' = a. När du sätter in det i VL ska du få (vilket du inte får, du skriver -b istället för -2b):

a - 2(ax+b) =

a - 2ax - 2b = x

utifrån detta får man att a = -1/2 och att b = -1/4 dvs y = -0.5x - 0.25.

Aha, of course.
Tror jag fattar grejen nu. :)

Larsson: Verkar fortfarande avancerat men nu har jag lite kvällsläsning.

Tack för hjälpen! Bumpar denna om någon vecka när jag ska plugga in inhomogena diffekvationer av andra graden. ;)

[The_RobRoy]

Som jag minns används inte integrerande faktor i gymnasiet. Det är kok-bokslösningar all the way :)

[egge]

Nu har jag fastnat på en annan diffekvation.
Ange den allmänna lösningen till y'+2y=e^2x
Homogen: Ce^-2x
Partikulär: Ansats: y=ae^bx ??

Vilken ansats ska jag använda?

[The_RobRoy]

Nu har jag fastnat på en annan diffekvation.
Ange den allmänna lösningen till y'+2y=e^2x
Homogen: Ce^-2x
Partikulär: Ansats: y=ae^bx ??

Vilken ansats ska jag använda?

Om f(x) = e^2x

Vad är då f'(x), f''(x) osv?

Hjälper det dig med vad "b" bör vara i din ansats? Annars ser det bra ut..

[egge]

Om f(x) = e^2x

Vad är då f'(x), f''(x) osv?

Hjälper det dig med vad "b" bör vara i din ansats? Annars ser det bra ut..

Aha, så ansatsen ska alltså vara y=ae^2x. Då får jag rätt svar. Tack så mycket. :)

[capture]

Jag kommer inte ens ihåg att man lärde sig diffekvationer i matte E. Var som ett frågetecken när vi gick igenom det på universitetet.

[egge]

Jag kommer inte ens ihåg att man lärde sig diffekvationer i matte E. Var som ett frågetecken när vi gick igenom det på universitetet.

Jag läser tekniskt basår så kurserna är anpassade så att vi ska klara av universitetsmatten. Jag ser faktiskt fram emot Matte F.

[b_61]

Skaffa Mathematica och använd DSolve så slipper du tänka själv.